一．解题错误特性

解题错误就是教学活动中的一种表现，它既受到教学环境与习题本生的制约，又和不同的水平的学生有关。它有自己的特性，这些特性是由数学的特点以及数学活动中的方法所决定的。

1．1、概括性

大量的数学习题是客观世界的数量关系和理想化了的空间形式，具有概括性，并且越来越多的高考试题是平时习题的多得概括，这也是其中的错误包括了从要领到通法到知识的迁移比如立体几何中的垂直性分为线线垂直，线面垂直，面面垂直延伸到所成角，又有线线所成角，线面所成角，二面角等等，学生往往在要领的概括上，通法的归纳上，知识的迁移应用上，都会表现出一些错误。

1．2、隐蔽性

数学习题除了形式化的“外表语言”----文字，图象，符号，还包含着一些本质的东西----思维，即使有了正确的方法。有时还会犯一些思维上的错误，这常让学生有时会“自以为是”。

【例1】在△ABC中，,,求？

错解：当A为锐角时，，

则

当A为钝角时，，

则。

实际上，A为钝角是不可能的，如果A为钝角，，∴A＞135°

又因为∴B＞60°，产生矛盾！

1．3、可鉴性

承认学生解题错误的存在是符合实际的，所谓“吃一堑长一智”，所以适当的错误会给人“顿悟”，从而使学习能健康的得以继续。另外，

（1）他能给教师检查教学方案的执行情况，及时调整并重新控制目标，让教学更有针对性

（2）它是学生提高自我纠正能力的前导，剑桥心理学家巴特说过：“测定智力的唯一标准是检测并屏弃错误的速度”当学生从解题错误中意识到自己的知识和思维缺陷是，也会自学地实行控制，灵活运用各种方法技能进行重操作。

（3）它也是教学研究者的主要数据来源，据90年的一份高考调查，浙江考生在立体几何的错误率达28%，经过教学上的调整，这一薄弱环节近几年得到不少改变。

1．4、多样性

由于数学解题错误其终端表现必须是反映在知识上，因此不少人都把他们看成是知识性的，用知识去囊括一切，我们认为学生的认知结构可分知识结构和认知结构，除了知识性错误，还有逻辑性错误，心理性错误，策略性的错误。

二．错误生成因素

许多老师、包括数学教育家弗洛依滕泰尔也曾生学的一些类似于“”的错误，归咎于他们的“不专心”，我们老师讲了又讲，但效果甚微，为什么呢？实质上，这里有许多不同的生成因素。

2．1、知识掌握上的不完善

这方面的表现主要有：（1）概念，性质含糊不清，比如“公垂线”的概念，许多学生，只记忆其垂直关系，而忽略了“唯一性”（2）忽略公式和重要结构存在的条件

【例2】求函数的值域？

错解：由基本不等式得，，∴值域是[2，∞)。

正解：当x＞0时，；当x＜0时，

【例3】设数列，前n项的和，求数列的通项？

错解：由即为所求。

上述错误原因在于忽略式子“”对成立。

（3）思维定势的滋生

【例4】已知定点A（0，1），B（2，3），若抛物线与线段AB有两个交点，求K？

解该题时，不少学生忽略“线段”，而凭瞬间直觉默认是“直线”，从而使K的范围扩大化。

2．2、逻辑性的不合理性

从本质上说，逻辑也属于知识范畴，但有时导致错误的盲点是在于逻辑，而不在于数学，其有以下几种表现：①潜在假设，所谓潜在假设，就是还没经过讨论论证的，就总认为正确的必然的那种想法例如“圆锥的轴截面再过顶点的所有截面中面积最大”，这个问题如果没经过证明都很难判断其正确性。这一点，在立体几何的证明题中常出现②“偷梁换柱”③对参数的分类不当④非等价变换⑤“循环论证”⑥因果关系不明。

【例5】函数，的值域是（）

A．[0，1] B．[－1，1] C． D．

（浙江2002年会考试题）

错解：C

分析：学生误以为最值在定义域的端点取得，这属于潜在假设，想当然。

例：如图，在三棱锥S－ABC中，AC＝BC＝a，SC＝b，∠ACB＝120°∠ACS＝∠BCS＝90°，求二面角S－AB的正切值。

错解：①过S作AB的垂线，连结CD；

②∵SC⊥AC，SC⊥BC，由三垂线定理知CD⊥AB

③则∠SDC即为二面角S-AB-C；

④在△BCD中，∠CBD＝30°，∴；

⑤在△SCD中，．

分析：因果关系不明在解题中比较普遍，尤其在论证题中。上题主要有下面向几点不清楚：

①垂足没指明

②先证SC⊥平面ABC

③二面角与平面角是两个不同概念

④∠CBD＝30°成立的理由不足

⑤求之前，应证明△SCD是Rt△．

2．3、心理性的错误

数学习题的解答，除了依靠学生的知识技能之外，还和本身的心理能力和智力分不开，即使知识技能掌握的不错，也可能因为心理障碍而产生错误，甚至一筹莫展，一些同学对立体几何就存在心理障碍。

那么，高中阶段的学生心理表现为两方面：

（1）能力的缺乏，这里我们说的心理能力包括识别能力，记忆能力，信息加工能力，想象能力，比如类似于的交错图形，对于感知能力较差的学生会产生消极影响。

而人的记忆就象一个能改变容量的库，随着年龄而发生变化，我们发现当一个习题的数据较多的时候，学生往往表现的“顾此失彼”。

（2）没有正确的心理势态，一方面和谐漂亮的量的关系，学生容易接近，反之，学生会产生心理抗拒。如换底公式，因为型美而容易记住，但有时却犯下如“”的错误。

（3）还停留在旧知识结构中，大家知道，随着每天的学习，旧的知识结构应不断被打破，但由于思维的惰性必然出现不同程度的停留，也会导致错误。比如高一学习一元二次方程在实数范围内，当学习了复数后，应作具体分类考虑。

（4）缺乏“整体观念”

【例6】函数的值域是___________。

分析：如果把和看成两个独立的元素，显然不好入手。但如果把和整体对待，就容易联想到用换元法来解决本题。

2．4、策略性错误

策略性错误是指解题思路阻塞或一种策略产生错误导向，或指一种策略明显增加了过程的难度和复杂性，由于时间的限制，问题最终得不到解决。主要有：①方法不当，②不能正确转化问题或运用模式。

【例7】已知，求的值？

繁解：，∴或

当，

∴原式

当，同理可得原式＝1。

优解：原式．

这里，我建议同学们要克服浏览题目后就埋头计算而不审题的作风。

三．对应策略

解决数学习题尤其是对待错误，不能单纯依靠固定模式，首先应制定策略。

3．1、减少机械性重复训练，注重培养学生既开放又严谨的思维品质

没错，对知识的掌握，唯一的途径是非训练莫属，错对“讲的多练的少”的现象，我们应反其道而行之，要讲精练多，通过练习暴露学生的各种错误，便在纠正中衍生一些知识点，减少负担，又能激发他们的求知欲。

【例8】直线L通过抛物线的焦点，并且与这条抛物线交于A（，）B（，）两点，（1）证：

（2）若点C在准线上，且AC平行与X轴，问B点，C点，D点共线吗？

本题改自平面解析几何P99T7和T9，在一个题境中解两个问题，比原题显的有层次，更能培养学生的思维。

3．2、突出重点，抓住实质的教与学

有些学生在解题时，只对形式的肤浅认识，而不推究实质和条件，搬用旧有的解题模式。

【例9】已知，求？

本题如果只针对根号作一些变形，最后可能因为“复杂”而不得不放弃，如果抓住方程的实质，由，则

故原式即

即x－2002＝2003。多简单的解法！

我们认为课堂中的教学应体现两个字：精，详。精出重点，详在实质一节课下来，让学生明白这节课的学习目标是什么，久而久之，他们解题时就能够“胸有成竹”。

3．3、在教学中渗透德育，尤其是培养学生的自我效能感

自我效能感引字美国心理学家班杜拉的自我效能理论，他认为，人们在对自己能够进行某一行为的实施能力的推测或判断在调节人的行为上具有更重要的作用，对自己实施能力的推测或判断就是自我效能感。学生能主动支纠正解题错误，勇于战胜困难，而且自我调控自我完善的能力较强，正是自我效能感的一种表现。

我们常常只关心终端的考核结果，或对解题错误置之不理，或故设屏障是他们产生畏难情绪。古人云，授之鱼不如授之以渔，我们认为让学生自我培养纠正能力也很重要。一方面在习题中让全体学生参与知识，方法的产生，发展过程，从而不断获取“意外”的经验；另外，让学生有更多的表现机会和被批评被表扬的机会，使学生错之有得，分层推进；第三，教师的模范解题，能使学生得到良好素养的熏陶，促进他们心理的同步健康发展。